初三数学上册知识点(10)

【来源：易教网 更新时间：2026-08-29】

最近后台收到最多的问题就是初三的学弟学妹问二次函数怎么学，说每次考试单选最后一道、填空最后一道还有大题第一道都是二次函数，一碰到就丢分，刷了很多题还是不会。其实说白了，二次函数的知识点并不难，难的是很多同学基础概念没捋顺，一看到题就慌，套公式都容易套错。

今天我把二次函数上册的核心知识点全部拆成最通俗的内容，每个点都配我上课反复强调的易错提醒，看完再去刷题，你会发现这块根本没你想的那么难。

先搞懂二次函数的基本定义，别一上来就套公式

二次函数的一般形式是\( y=ax^2+bx+c \)，这里有一个硬性前提就是\( a\neq0 \)，只要\( a=0 \)，这个式子就会变成一次函数\( y=bx+c \)，很多同学刚学的时候审题不仔细，题目问“下列函数是二次函数的是”，看到式子里有\( x^2 \)项就不管\( a \)的取值，直接选，结果一分都拿不到，这是最开始就要避的坑。

二次函数的图象是抛物线，所以也常被叫做抛物线\( y=ax^2+bx+c \)，它的图象关于对称轴对称，对称轴一侧的图象是上升趋势，另一侧是下降趋势，如果\( a<0 \)的话，升降趋势会反过来。

这里还有一个常考的概念是截距，\( c \)叫做二次函数在y轴上的截距，也就是二次函数图象和y轴交点的纵坐标，所以所有的二次函数图象都必过\( (0,c) \)这个点。

比如\( y=-2x^2+3x-4 \)，这里\( c=-4 \)，所以它和y轴的交点就是\( (0,-4) \)，你直接代\( x=0 \)进去计算，\( y=-4 \)，结果完全一致，很多同学记不住截距的概念，做题的时候求y轴交点还要重新代x计算，其实直接看c的取值就可以，能省不少时间。

这里还要提醒一个易错点：截距是坐标轴交点的坐标值，不是交点与原点的距离，比如刚才的例子里交点是\( (0,-4) \)，截距就是-4，不是4，很多同学在这里丢过分。

特殊二次函数\( y=ax^2 \)：解题的时候能省一半时间

当二次函数的一般形式里\( b=0 \)且\( c=0 \)的时候，二次函数就会变成\( y=ax^2 \)，这是最特殊的二次函数，有几个非常鲜明的特点：第一，它的图象关于y轴对称；第二，它的顶点坐标是\( (0,0) \)，也就是原点。

比如\( y=\frac{1}{2}x^2 \)开口向上，顶点在原点，\( y=-x^2 \)开口向下，顶点也在原点，不管a是正还是负，只要满足\( b=0 \)且\( c=0 \)，顶点就一定在原点。

这个特殊形式在解题的时候特别好用，很多题目如果提到抛物线过原点，而且对称轴是y轴，那你直接设\( y=ax^2 \)就可以，不用设一般式\( y=ax^2+bx+c \)，少解两个未知数，能省不少时间。

比如一道常考题：“已知抛物线的对称轴是y轴，且过点\( (2,8) \)，求该抛物线的解析式”，你直接设\( y=ax^2 \)，把\( (2,8) \)代入的话，\( 8=a\times2^2 \)，解得\( a=2 \)，所以解析式就是\( y=2x^2 \)，比设一般式快很多，尤其是考试时间紧张的时候，这种小技巧能帮你省出时间攻克后面的压轴题。

求解析式必考方法：待定系数法，步骤对了就不会错

如果题目已知二次函数图象上的三个点的坐标，求解析式最常用的方法就是待定系数法，步骤非常简单：第一步设二次函数的一般式\( y=ax^2+bx+c \)，第二步把三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，第三步解这个方程组，算出a、b、c的值，代入一般式就得到解析式了。

我拿一道具体的题给大家演示一下：已知抛物线过\( (1,2) \)、\( (2,3) \)、\( (3,6) \)三个点，求它的解析式。第一步设\( y=ax^2+bx+c \)，第二步代入三个点的坐标：

把\( (1,2) \)代入，得到\( a\times1^2 + b\times1 + c = 2 \)，整理后是\( a + b + c = 2 \)；

把\( (2,3) \)代入，得到\( a\times2^2 + b\times2 + c = 3 \)，整理后是\( 4a + 2b + c = 3 \)；

把\( (3,6) \)代入，得到\( a\times3^2 + b\times3 + c = 6 \)，整理后是\( 9a + 3b + c = 6 \)；

第三步解方程组：用第二个式子减去第一个式子，得到\( 3a + b = 1 \)，我们叫它①式；用第三个式子减去第二个式子，得到\( 5a + b = 3 \)，叫它②式；

用②式减去①式，得到\( 2a=2 \)，所以\( a=1 \)，把\( a=1 \)代入①式，得到\( 3\times1 + b = 1 \)，所以\( b=-2 \)，再把\( a=1 \)、\( b=-2 \)代入第一个式子\( a+b+c=2 \)，得到\( 1 + (-2) + c = 2 \)，所以\( c=3 \)，最终解析式就是\( y=x^2-2x+3 \)。

这里有两个特别容易踩的坑：第一个是代入坐标的时候不注意符号，比如已知点是\( (-2,5) \)，代入的时候是\( a\times(-2)^2 + b\times(-2) + c =5 \)，很多同学会写成\( -4a -2b +c=5 \)，把\( (-2)^2 \)的符号搞错，这种错误太冤枉；

第二个是解方程组的时候计算失误，尤其是带负数的运算，一定要算一步核对一步，避免把a、b、c的值算错。

顶点式：求对称轴、顶点坐标、最值的核心工具

顶点式是二次函数的另一种表达形式，写作\( y=a(x-h)^2 +k \)，这里\( a\neq0 \)，从顶点式里可以直接读出三个核心信息：抛物线的顶点坐标是\( (h,k) \)，对称轴方程是\( x=h \)，函数的极值（最值）是\( y_{最值}=k \)。

如果\( a>0 \)，抛物线开口向上，这个最值是最小值；如果\( a<0 \)，抛物线开口向下，这个最值是最大值。

这个形式最常考的就是求对称轴、顶点坐标和最值，很多时候题目给的解析式是一般式，你把它配方成顶点式，直接就能读出结果，比用公式\( x=-\frac{b}{2a} \)算更不容易错。

我拿刚才的例子\( y=x^2-2x+3 \)给你演示怎么配方：首先二次项系数是1，直接处理括号里的部分，\( y=(x^2-2x) +3 \)，然后在括号里加上一次项系数一半的平方，也就是\( (\frac{-2}{2})^2=1 \)，为了保证式子大小不变，括号里加1的同时要减去1，所以式子变成\( y=(x^2-2x+1 -1) +3 \)，把括号里的-1移到括号外面，就得到\( y=(x-1)^2 -1 +3 = (x-1)^2 +2 \)，所以顶点坐标是\( (1,2) \)，对称轴是\( x=1 \)，最值是2。

这里要特别提醒一个高频易错点：顶点式里的\( h \)和\( k \)的符号和括号里的符号是相反的，比如\( y=3(x+2)^2 -4 \)，括号里是\( +2 \)，所以\( h=-2 \)，\( k=-4 \)，顶点坐标是\( (-2,-4) \)，对称轴是\( x=-2 \)，很多同学一看到括号里是加号，就直接把h写成正数，结果全写错，这种错误在中考里每年都有学生踩。

还有如果二次项系数不是1，配方的时候一定要注意：括号里加的那个数一定要乘二次项系数之后再移到括号外面，比如\( y=2x^2+4x+1 \)，配方的时候是\( y=2(x^2+2x) +1 = 2(x^2+2x+1-1) +1 = 2(x+1)^2 -2 +1 = 2(x+1)^2 -1 \)，很多同学提了2之后，后面减的时候没乘2，直接写成\( 2(x+1)^2 -1 +1 \)，结果算出来的最值就错了，这种错误在考试里特别常见。

二次函数拿满分的核心就三点：记牢概念、避开易错、多练题型

很多同学觉得二次函数难，其实是你把简单的东西想复杂了，今天讲的这几个核心知识点，都是二次函数的基础，也是考试必考的内容，你先把概念记牢，把易错点都记下来，然后练个十道八道配方的题、待定系数法的题，这块的送分题你基本能全拿到。

后面我会继续更新二次函数的常考题型，比如和一次函数结合、和几何图形结合的大题怎么解，还有中考真题里的二次函数考题拆解，需要的同学可以星标公众号，第一时间收到更新，也欢迎在后台留言说你目前学习里的问题，我会尽量在后面的内容里解答。