第1讲 有理数：从“正负“开始，搭建初中数学的第一块积木

【来源：易教网 更新时间：2026-07-24】

一、从一个温度计说起：为什么要学"负数"？

小学阶段，我们熟悉的数都是"正数"——自然数、分数、小数，全部大于或等于零。但进入初中，你会遇到很多现实场景，用以前学过的数根本"不够用"。

比如：

- 零下 \( 5 \) 度的天气，怎么写？

- 支出 \( 200 \) 元，收入 \( 300 \) 元，账目里"亏"的部分怎么记？

为了表达"相反意义的量"，数学家引入了负数的概念：在以前学过的 \( 0 \) 以外的数前面加上负号"\( - \)"的数叫负数（negative number）。与负数具有相反意义的量，即以前学过的 \( 0 \) 以外的数，叫做正数（positive number）。

根据需要，有时在正数前面也加上"\( + \)"，比如 \( +3 \) 和 \( 3 \) 是同一个数。

在这里要特别注意一点：\( 0 \) 既不是正数，也不是负数。\( 0 \) 是一个非常特殊的数，它表示"没有"，也表示"基准"。

> 正数部分 \( > 0 \)，负数部分 \( < 0 \)，零是谁都不属于的"中间地带"。

二、"有理数"到底是什么？一张图帮你理清楚

把数和数的家族关系理顺，对后续学习至关重要。

- 正整数、\( 0 \)、负整数统称为整数（integer）。

- 正分数和负分数统称为分数（fraction）。

- 整数和分数统称为有理数（rational number）。

用人话翻译一下：只要能写成分数形式 \( \frac{p}{q} \)（其中 \( q \neq 0 \)）的数，都是有理数。

比如 \( 3 = \frac{3}{1} \)，\( -2 = \frac{-2}{1} \)，\( 0.5 = \frac{1}{2} \)，\( -1.25 = -\frac{5}{4} \)。

相对地，后面你会学到无理数——就是那些写成分数"永远除不尽"的数，比如 \( \sqrt{2} \)、\( \pi \)，这部分内容我们之后会单独讲。

三、数轴：把"数"和"点"对应起来的魔法工具

光有抽象的数还不够，数学家发明了一种"看得见"的工具——数轴（number axis）。

在一条直线上任取一点表示 \( 0 \)，这个点叫做原点（origin）。规定这条直线的正方向（通常向右）和单位长度，一条数轴就建好了。

数轴三要素，缺一不可：

1. 原点

2. 正方向

3. 单位长度

有了数轴，每一个有理数都能在数轴上找到唯一的一个点；反过来，数轴上每一个点，也唯一地对应一个有理数。这就是数形结合思想的雏形——以后你会反复遇到这个词。

四、相反数：数轴上关于原点对称的两个点

什么叫互为相反数（opposite number）？只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

比如：

- \( 2 \) 的相反数是 \( -2 \)

- \( -\frac{3}{5} \) 的相反数是 \( \frac{3}{5} \)

- \( 0 \) 的相反数是 \( 0 \)（\( 0 \) 又一次展现了自己的独特之处）

几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点，到原点的距离相等，且分别位于原点两侧。

五、绝对值：一个数的"距离身份证"

数轴上表示数 \( a \) 的点与原点的距离，叫做数 \( a \) 的绝对值（absolute value），记作 \( |a| \)。

由于距离不可能为负，所以绝对值有一个非常重要的性质：

\[ |a| \geq 0 \]

具体规则如下：

- 一个正数的绝对值是它本身：例如 \( |+5| = 5 \)。

- 一个负数的绝对值是它的相反数：例如 \( |-5| = 5 \)。

- \( 0 \) 的绝对值是 \( 0 \)：\( |0| = 0 \)。

学会绝对值之后，比较两个负数的大小就变得很简单：

> 两个负数，绝对值大的反而小。

比如 \( -7 \) 和 \( -3 \)，因为 \( |-7| = 7 > |-3| = 3 \)，所以 \( -7 < -3 \)。这和直觉相反，是初学最容易出错的地方之一。

六、平面直角坐标系：把"一条线"升级为"一个面"

一个人站在操场上，光说他"向北走了 100 米"还不够——他到底在哪个位置？必须再补一句"从东门出发 200 米"。这里的"南北"和"东西"就是两条互相垂直的参考线。

数学家也一样，光有一条数轴，只能表示"一维"的位置（左右）。想要描述"二维"的位置（一个平面），就需要两条数轴。

1. 什么是平面直角坐标系？

平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

- 水平的数轴称为 \( x \) 轴或横轴；

- 竖直的数轴称为 \( y \) 轴或纵轴；

- 两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

四个要素缺一不可：同一平面、两条数轴、互相垂直、原点重合。

2. 三个"规定"记忆法

为了全世界的人看同一张图都能得到同一个坐标，需要做三个规定：

1. 正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向。

2. 单位长度的规定：一般情况下，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

3. 象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

象限记忆口诀：从右上开始，按逆时针方向依次为"一、二、三、四"。可以记作"右上左上左下右下"——但更高效的是对应英文单词 Quadrant 的首字母 Q1、Q2、Q3、Q4。

3. 点的坐标：一对有序实数对

建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点 \( C \)，过点 \( C \) 分别向 \( x \) 轴、\( y \) 轴作垂线，垂足在 \( x \) 轴、\( y \) 轴上的对应点 \( a \)、\( b \) 分别叫做点 \( C \) 的横坐标、纵坐标，有序实数对 \( (a, b) \) 叫做点 \( C \) 的坐标。

注意关键词："有序"。\( (3, 5) \) 和 \( (5, 3) \) 是两个完全不同的点。一个表示"横坐标 \( 3 \)，纵坐标 \( 5 \)"，另一个表示"横坐标 \( 5 \)，纵坐标 \( 3 \)"。

一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样：

- 第一象限：\( (+, +) \)

- 第二象限：\( (-, +) \)

- 第三象限：\( (-, -) \)

- 第四象限：\( (+, -) \)

- \( x \) 轴上的点：纵坐标为 \( 0 \)

- \( y \) 轴上的点：横坐标为 \( 0 \)

- 原点：\( (0, 0) \)

七、因式分解：把"多项式"拆成"积的形式"

进入初中代数，你迟早会遇到一个核心操作：因式分解。

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形，叫做把这个多项式因式分解。

四个要素，缺一不可：

1. 结果必须是整式；

2. 结果必须是积的形式；

3. 结果是等式；

4. 因式分解与整式乘法是互逆的过程。

比如 \( m(a+b+c) = ma + mb + mc \) 是整式乘法，反过来 \( ma + mb + mc = m(a+b+c) \) 就是因式分解。

1. 公因式：多项式各项的"公约数"

一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

确定公因式的方法：

1. 系数：取各项系数的最大公约数（系数是整数时）。

2. 相同字母：取最低次幂。

3. 系数最大公约数 × 相同字母的最低次幂，就是公因式。

举个例子：多项式 \( 6x^3y^2 + 9x^2y^3 - 12x^2y \)。

- 系数最大公约数：\( 3 \)。

- 相同字母：\( x^2 \)（取 \( x^3, x^2, x^2 \) 中的最低次幂 \( x^2 \)），\( y \)（取 \( y^2, y^3, y \) 中的最低次幂 \( y \)）。

- 公因式：\( 3x^2y \)。

2. 提取公因式步骤

1. 确定公因式；

2. 确定商式（用每一项除以公因式）；

3. 公因式与商式写成积的形式。

3. 因式分解的一般步骤（口诀版）

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。

口诀：

> "一提"、"二套"、"三分组"、"四十字"

具体含义：

- 一提：先提公因式。

- 二套：尝试套公式（平方差公式、完全平方公式等）。

- 三分组：四项或以上的多项式，考虑分组。

- 四十字：最后考虑十字相乘法。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解。若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内。

4. 分解因式时的"七不准"提醒

为了让答案更规范，避免被扣冤枉分，下面这些"小动作"一定要记得：

1. 不准丢字母；

2. 不准丢常数项，注意查项数；

3. 双重括号化成单括号；

4. 结果按"数字 → 单字母单项式 → 多项式"顺序排列；

5. 相同因式写成幂的形式：比如写成 \( x^2 \) 而不是 \( x \cdot x \)；

6. 首项负号放括号外：\( -x^2 + 2x \) 应写成 \( -(x^2 - 2x) \)；

7. 括号内同类项合并。

八、写在最后：搭建你的数学"知识骨架"

这一讲的内容看起来零散，但它们其实在搭建整个初中数学的"骨架"：

- 有理数——数的第一次扩容，从正数走向"带符号的世界"。

- 数轴与绝对值——把抽象的数变成可以"看见"的点。

- 平面直角坐标系——把"一条线"升级为"一个面"，为函数图像打基础。

- 因式分解——代数运算的核心工具，从解方程到二次函数，处处都用得上。

这些概念看似简单，却是后面学习一元一次方程、一元二次方程、函数、几何变换的前提。地基打不牢，上面盖的楼一定会晃。

下一讲，我们将进入"整式的加减"，从字母和系数的游戏开始，走进真正的代数世界。