高考数学知识点总结(4)

【来源：易教网 更新时间：2026-07-24】

不少同学做到圆与圆位置关系的题就发懵：公式背了五六遍还是分不清外离和内含，外切内切的条件一写就错，上次模考这道题错了3分，本来能稳上130的结果卡在120，又或者本来能冲140的结果最后只拿了135，痛失好几分？

别慌，今天这篇把圆与圆位置关系的所有考点、易错点、解题技巧全给你讲透，看完再做这类题保证不会再丢分。

先搞懂：圆与圆位置关系到底有几种？

两个圆的位置关系本质上是看它们的公共点个数，一共可以分为三大类，细分就是五种高考常考的情况。

第一种是无公共点的情况，这时候两个圆完全分开，要么是一个在另一个外面，也就是外离，要么是一个在另一个里面，也就是内含，这两种情况都没有交点，很多同学会搞混这两者的区别，记住只要看圆心距和半径和、半径差的大小就行，后面会详细讲。

第二种是有且仅有1个公共点的情况，这时候两个圆刚好挨在一起，要么是外面挨着，也就是外切，要么是里面挨着，也就是内切，这两种情况只有1个交点，就是两个圆的切点。第三种是有2个公共点的情况，这时候两个圆交叉在一起，也就是相交，两个交点就是两个圆的交点。

这里先给大家提个醒，有不少同学会误以为内含的两个圆有公共点，其实内含的圆是完全在另一个圆的内部，两个圆没有交点，哪怕是同心圆这种特殊的含的情况，也没有公共点，这个点后面做题的时候经常会考，先记清楚。

核心公式+易错点：90%的人丢分都栽在这里

判断两个圆位置关系最常用的就是通过圆心距和两个圆半径的和、差的关系来判断，这里先明确几个基础量：设两个圆的半径分别为\( R \)和\( r \)，两个圆心的距离叫做圆心距，记为\( d \)。

如果两个圆的标准方程分别是\( (x-a_1)^2+(y-b_1)^2=R^2 \)和\( (x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r^2 \)，那圆心距的计算公式是\( d=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2} \)，这个公式很多同学会忘，做题的时候直接瞎算圆心距，第一步就错了，后面全崩。

接下来就是五种位置对应的核心条件，这里一定要记准，尤其要注意绝对值的问题，是高考的高频易错点。第一种是外离，两个圆完全没有公共点，且一个在另一个外部，对应条件是\( d > R + r \)，也就是圆心距大于两个圆半径的和，这时候两个圆离得特别远，完全没有接触。

第二种是外切，两个圆有且仅有1个公共点，且一个在另一个外部，对应条件是\( d = R + r \)，也就是圆心距等于两个圆半径的和，这时候两个圆刚好在外面挨上，只有一个切点。

第三种是相交，两个圆有2个公共点，对应条件是\( |R - r| < d < R + r \)，也就是圆心距大于两个圆半径的差的绝对值，同时小于两个圆半径的和，这时候两个圆交叉，有两个交点。

第四种是内切，两个圆有且仅有1个公共点，且一个在另一个内部，对应条件是\( d = |R - r| \)，也就是圆心距等于两个圆半径的差的绝对值，这时候两个圆刚好在里面挨上，只有一个切点。

第五种是内含，两个圆完全没有公共点，且一个在另一个内部，对应条件是\( d < |R - r| \)，也就是圆心距小于两个圆半径的差的绝对值，这时候小圆完全在大圆里面，没有接触。

这里重点说几个大家最容易错的点，上次模考有不少同学就是栽在这里：第一个就是记内切、内含条件的时候漏掉绝对值，直接写成\( d = R - r \)或者\( d < R - r \)，这就会出大问题，因为两个圆的半径大小是不确定的，\( R \)可能比\( r \)大，也可能比\( r \)小，如果\( r \)比\( R \)大，那\( R - r \)就是负数，而圆心距\( d \)肯定是正数，不可能等于或者小于负数，所以必须加绝对值，保证半径差是正数，这个点高考里几乎每次都会挖坑，上次有个学生模考就是这里错了，本来能拿满分的結果丢了5分，特别亏。

第二个易错点是记混相交和内含的条件，要么忘了相交还要小于半径和，要么把内含的条件记成\( d < R + r \)，这俩记反了做题肯定错，这里教大家一个小技巧：不用先硬记位置对应的条件，做题的时候先算出两个圆的圆心距\( d \)，再算出两个半径的和\( R + r \)，以及半径差的绝对值\( |R - r| \)，然后拿\( d \)和这两个数比，大于大的那个数就是外离，等于大的那个数就是外切，在两个数之间就是相交，等于小的那个数就是内切，小于小的那个数就是内含，这样按顺序比，绝对不会搞混。

还有一个常见的错误是搞混公共点的数量，有的同学以为外离有1个公共点，或者内含有2个，其实外离和内含都是0个公共点，只有外切、内切是1个，相交是2个，这个记混的话，就算条件记对了，也会选错。

真题练手：看完就会做，不会你来找我

光记公式没用，得会做题，给大家拿一道高考真题练练手，2023年新高考Ⅰ卷的第10题：已知圆\( C_1: x^2 + y^2 = 4 \)，\( C_2: (x-3)^2 + y^2 = 9 \)，则\( C_1 \)与\( C_2 \)的位置关系是？

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切。我们按照刚才讲的步骤来解：第一步先把两个圆的方程化为标准形式，找出圆心和半径，\( C_1 \)的圆心是\( (0,0) \)，半径\( R=2 \)，\( C_2 \)的圆心是\( (3,0) \)，半径\( r=3 \)；

第二步算圆心距，\( d=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=3 \)；第三步算半径和与半径差的绝对值，\( R + r = 2 + 3 = 5 \)，\( |R - r| = |2 - 3| = 1 \)；

第四步对比，\( 1 < 3 < 5 \)，也就是\( |R - r| < d < R + r \)，符合相交的条件，所以答案选C。

这道题是高考的基础题，只要步骤对，很容易就能拿到分，还有很多题是已知位置关系求参数范围，比如已知两个圆相交，求某个参数\( a \)的范围，那就是把相交的条件\( |R - r| < d < R + r \)列出来，解不等式就行，本质是一样的。

避坑提醒：这些错误你犯过几个？

给大家总结几个做这类题最容易踩的坑，提前避开：第一个就是刚才说的漏掉绝对值，记内切、内含条件的时候忘了加绝对值，导致判断错误；

第二个是圆心距算错，比如两个圆的圆心是\( (1,2) \)和\( (4,6) \)，算圆心距的时候不要算成\( \sqrt{(4-1)+(6-2)} \)，一定要先平方再开根号，也就是\( \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \)，很多同学会忘平方，直接加起来算成7，那后面全错；

第三个是半径看错，比如给的是\( x^2 + y^2 = 9 \)，半径是3不是9，是半径的平方等于9，这种低级错误高考里特别多，因为太粗心丢分太冤；

第四个是把两个圆的位置关系和直线与圆的位置关系记混，直线与圆的位置关系是用圆心到直线的距离和半径比，圆与圆是用两个圆心的距离和两个半径的和差比，别搞混了。

其实圆与圆的位置关系真的不算难，属于高考数学里性价比极高的知识点，只要花10分钟把公式记准，把易错点避开，不管是选择题还是填空题，甚至是大题的第一问，都能稳稳拿分。下次要是再做错，就把这篇拿出来翻一遍，保证下次不会再踩坑。要是还有啥不懂的，评论区留言，我看到都会回。